Objectifs de la formation
Les méthodes variationnelles ou méthodes d’énergie sont fondamentales dans l’étude des équations aux dérivées partielles (ou EDP) linéaires et surtout non linéaires. Elles reposent sur des estimations des solutions dans des espaces fonctionnels adaptés et sur l’utilisation d’outils puissants d’analyse fonctionnelle. Le but de ce cours est de
- présenter les notions fondamentales d’analyse à la base de ces méthodes
- montrer comment elle peuvent être utilisées pour étudier des EDP stationnaires (dites elliptiques) ainsi que des EDP d’évolution (dites paraboliques). Ces notions seront notamment illustrées par l’étude de divers problèmes issus de la physique mathématique. Pré-requis : il est recommandé d'avoir suivi le cours S8 'Analyse Fonctionnelle' (ou toute formation équivalente).
Mots-clés
Equations aux dérivées partielles, solutions faibles, problèmes linéaires et non linéaires, méthodes variationnelles
Programme
Chapitre 1. Espaces de Sobolev
- Notions sur les distributions
- Théorèmes de trace et de densité Chapitre 2. Problèmes aux limites elliptiques linéaires
- Méthodes variationnelles
- Problèmes aux valeurs propres Chapitre 3. Problèmes elliptiques non linéaires
- Topologie faible
- Méthode de Galerkin Chapitre 4. Problèmes paraboliques
- Fonctions à valeurs vectorielles
- Formulation variationnelle d'un problème modèle
Compétences visées
- Acquérir les notions d'analyse permettant l'étude des EDPs Savoir les appliquer à divers problèmes
Évaluation
Note = 70% savoir + 30% savoir-faire Note de savoir = 100% examen terminal Note de savoir-faire = 100% contrôle continu