Ordre, chaos, fractales

Responsable(s) : Christophe BAILLY, Didier DRAGNA
Cours ⋅ 22 hAutonomie ⋅ 10 h

Objectifs de la formation

Le concept de chaos déterministe a profondément modifié la façon d'aborder de nombreux problèmes en science. Le problème des trois corps de Poincaré en mécanique céleste et les travaux de Lorenz en météorologie sont deux exemples emblématiques. Le cours introduit les grandes idées et les principales notions théoriques utilisées pour décrire le comportement de ces systèmes chaotiques, non linéaires et à faible nombre de degrés de liberté « efficaces ». Le champ d'application était historiquement plutôt du ressort de la mécanique, mais tous les domaines de la physique et même au-delà (biologie, médecine, économie, sciences sociales) sont concernés, comme le montrera le cours, les exemples étudiés en exercice et le sujet du mini-projet (à choisir par groupe).

Mots-clés

Physique non linéaire, Systèmes dynamiques, Fractales, Stabilité, Bifurcations, Dimensions fractales (non entières), Exposants de Lyapunov, Contrôle, Reconstruction.

Programme

• Introduction à la dynamique chaotique : exemples et méthodes de description (temporelle et fréquentielle, espace des phases, sections de Poincaré). • Systèmes dynamiques. Applications à temps discret ; cartes itérées. Perte de stabilité des solutions, bifurcations, cycles limites, exposants de Lyapunov. • Transition vers le chaos et notion d'attracteur étrange. • Objets fractals ; dimensions non entières. Exemples et applications. • Chaos dans les systèmes dissipatifs. Sensibilité aux conditions initiales. Outils de caractérisation (dimensions fractales, exposants de Lyapunov). Exemples classiques (Hénon, Rössler, Lorenz ...). • Chaos dans les systèmes hamiltoniens avec la mécanique céleste • Contrôle du chaos et notions sur l’identification de systèmes dynamiques

Compétences visées

  • Compréhension des concepts fondamentaux des systèmes non linéaires
  • Appropriation de ces concepts par des simulations numériques simples
  • Compréhension du domaine d'application et de ses limites

Contrôle des connaissances

Note = 40% savoir + 60% savoir-faire Note de savoir = 50% examen terminal + 50% contrôle continue Note de savoir-faire = 100% contrôle continue