Objectifs de la formation
Le concept de chaos déterministe a profondément changé la façon dont nous abordons la modélisation de nombreux problèmes. Le problème des trois corps de Poincaré en mécanique céleste et les travaux de Lorenz en météorologie en sont deux exemples emblématiques désormais célèbres. Le cours introduit les principales idées et notions théoriques utilisées pour décrire le comportement de ces systèmes dynamiques chaotiques et non linéaires. Un petit nombre de degrés de liberté effectifs est très souvent suffisant pour observer le chaos, ce qui permet une analyse mathématique plus accessible. Le domaine d'application était historiquement plutôt celui de la mécanique, mais tous les domaines de la physique et même au-delà (biologie, médecine, économie, sciences sociales) sont concernés, comme cela sera illustré dans le cours ainsi que dans les études de cas.
Mots-clés
Systèmes dynamiques, stabilité, bifurcations, cycle limite, attracteur étrange, chaos, dimensions fractales, exposants de Lyapunov, contrôle, identification et reconstruction
Programme
1-Introduction aux systèmes dynamiques. 2-Stabilité des équilibres: Lyapunov, points fixes, cycles limites, théorème de Poincaré-Bendixon, bifurcations canoniques, attracteur. 3-Fractales: introduction, génération, percolation, dimensions. 4-Sensibilité aux conditions initiales: introduction,exposants de Lyapunov pour les cartes, exposants de Lyapunov pour les systèmes dynamiques, prédiction à un horizon temporel long. 5-Chaos hamiltonien: illustration en mécanique céleste; quelques propriétés des systèmes hamiltoniens, résonances, théorème KAM, stabilité du système solaire. 6-Contrôle du chaos: motivation, algorithmes et illustrations. 7-Identification et reconstruction à partir de séries temporelles.
Compétences visées
- Connaître les concepts fondamentaux pour l'étude des systèmes dynamiques
- S'approprier ces concepts à travers des études de cas numériques simples
- Être capable d'expliquer le comportement des systèmes dynamiques non linéaires
Évaluation
Note = 50% savoir + 50% savoir-faire Note de savoir = 40% examen terminal + 60% contrôle continue Note de savoir-faire = 40% examen terminal + 60% contrôle continue