[Conférence] Comment déterminer la nature arithmétique des constantes mathématiques classiques ?

  • 16 mars 2020
  • 20:00
  • École Centrale de Lyonbâtiment W1rez-de-chaussée (déambulatoire)Amphi 2

Par Tanguy Rivoal, directeur de recherche au CNRS

Les mathématiciens se sont toujours interrogés sur la nature arithmétique des constantes qu'ils rencontraient lors de leurs recherches en analyse ou géométrie : les nombres tels que $\sqrt{2}$, le nombre d'or, $\pi$, $\ln(2)$, $e$ (parmi les plus connus) sont-ils rationnels ou irrationnels ? Algébriques ou transcendants pour les trois derniers ?

Dans cet exposé, l'intervenant présentera quelques principes et méthodes employés pour répondre à ces questions et comment ils permettent plus généralement de montrer l'indépendance linéaire sur $\mathbb Q$ des nombres 1, $\pi$ et $\ln(2)$ ou bien d'obtenir des mesures d'irrationalité de $\pi$ et $e$, c'est-à-dire une minoration de l'écart entre ces nombres et n'importe quel nombre rationnel.

Selon le temps, il indiquera comment l'on peut obtenir des énoncés  partiels tels que «  parmi N nombres réels donnés, il en existe au moins $M$ qui sont irrationnels » où $M<N$, mais sans que l'on puisse dire exactement lesquels sont irrationnels. Ce type d'énoncé a été récemment obtenu pour des nombres liés aux valeurs de la fonction zêta de Riemann évaluées aux entiers impairs et à la constante d’Euler.

Cette conférence s'inscrit dans le cadre des soirées mathématiques de Lyon (SML) organisées 5 lundis par an, tour à tour dans chacun des établissements organisateurs que sont l’ENS, l’École Centrale de Lyon, l’INSA, le Lycée du Parc et l’Université Lyon 1.